Question

18．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的右焦點F作漸近線的垂線，垂足為P，過P作y軸的垂線交另一漸近線為Q，若△OFP的面積是△OPQ的面積的4倍，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得PF的方程，聯立漸近線方程，解得交點P的坐標，由對稱性可得Q的坐標，運用三角形的面積公式，結合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
右焦點F（c，0），
由題意可得直線PF的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯立漸近線方程y=$\frac{a}$x，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由對稱性可得Q（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由△OFP的面積是△OPQ的面積的4倍，
可得$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{2{a}^{2}}{c}$•$\frac{ab}{c}$，
即有c²=8a²，e=$\frac{c}{a}$=2$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，以及三角形的面積公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．