Question

在數(shù)列{a_n}中，a=1，a+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

a

=2ⁿ-1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）求存在n∈N^*，使得a_n≤n（n+1）λ成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在數(shù)列遞推式中，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）直接利用錯位相減法求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入a_n≤n（n+1）λ，整理后分離參數(shù)λ，然后設(shè)輔助函數(shù)f(n)=

2n-1

n+1

，利用作商法判斷其單調(diào)性，求其最小值，則答案可求．

解答： 解：（1）由a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

a

=2ⁿ-1  ①，
得a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1（n≥2）②，
①-②得：

an

n

=2n-1(n≥2)，
∴an=n•2n-1，驗證n=1時此式成立，
∴an=n•2n-1；
（2）Sn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1  ③，
2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n  ④，
③-④得：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=（1-n）•2ⁿ-1．
∴Sn=(n-1)•2n+1；
（3）由a_n≤n（n+1）λ，得
λ≥

an

n(n+1)

=

2n-1

n+1

．
令f(n)=

2n-1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+2

•

n+1

2n-1

=

2n+2

n+2

＞1．
∴f（n）單調(diào)遞增，
從而f(n)min=f(1)=

1

2

．
∴λ≥

1

2

．
即實數(shù)λ的最小值為

1

2

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了分離參數(shù)法求字母的取值范圍，是壓軸題．