Question

3．定理：若x∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinx＜x，設(shè)a，b，c∈（0，$\frac{π}{2}$），其中，a是函數(shù)y=x與y=cosx圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，b=sin（cosb），c=cos（sinc），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 利用定理，再構(gòu)造新函數(shù)證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)，g（x）=cos（sinx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)；最后將x=a分別代入兩函數(shù)，判斷函數(shù)值正負(fù)，從而利用函數(shù)的單調(diào)性比較自變量a、b、c的大小．

解答 解：若x∈（0，$\frac{π}{2}$），則sinx＜x，
令f（x）=sin（cosx）-x，
可得：f′（x）=-sinxcos（cosx）-1，x∈（0，$\frac{π}{2}$），f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）是減函數(shù)，同理g（x）=cos（sinx）-x為（0，$\frac{π}{2}$）上的減函數(shù)
∵sina＜a，
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＜c
同理∵x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴a＞b
綜上所述，b＜a＜c
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，正確的研究其單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．