Question

已知拋物線P的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點(diǎn)H（4，0）作直線與拋物線P相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-16．
（1）求拋物線P的方程；
（2）是否存在常數(shù)a，當(dāng)點(diǎn)M在拋物線P上運(yùn)動時，直線x=a都與以MF為直徑的圓相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立方程組

y2=2px y=k(x-4)

化簡得；k²x²-（8k²+2p）x+16k²=0，利用韋達(dá)定理求解．
（2）根據(jù)拋物線定義可知：|FM|=x₀+1，直線x=a都與以MF為直徑的圓相切，得出：|

x0+1

2

-a|=

x0+1

2

，即可求解a的值存在不存在．

解答： 解：（1）∵拋物線P的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，
∴拋物線P的方程為y²=2px，p＞0
經(jīng)過點(diǎn)H（4，0）作直線：y=k（x-4），
∴

y2=2px y=k(x-4)

化簡得；k²x²-（8k²+2p）x+16k²=0，
∵線與拋物線P相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁x₂=16，（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
∵y₁y₂=-16．
∴p²=4，p=2
故拋物線P的方程：y²=4x
（2）拋物線P的方程：y²=4x，F(xiàn)（1，0）M（x₀，y₀），中點(diǎn)N（

x0+1

2

，

y0

2

）
根據(jù)拋物線定義可知：|FM|=x₀+1，
∵直線x=a都與以MF為直徑的圓相切
∴中點(diǎn)到直線的x=a的直線的距離：|

x0+1

2

-a|=

x0+1

2

即；a=0
故存在直線x=0都與以MF為直徑的圓相切．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的定義，方程組的方法結(jié)合韋達(dá)定理求解問題，屬于中檔題．