Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=ln（x²-2x+2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求f（x）的解析式；
（2）利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可寫(xiě)出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，∵x≥0時(shí)，f（x）=ln（x²-2x+2）．
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）．
∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）=f（x）．
即f（x）=ln（x²+2x+2），x＜0．
則f（x）=

ln(x2-2x+2) x≥0 ln(x2+2x+2) x＜0

．
（2）設(shè)t=x²-2x+2=（x-1）²+1，
則當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)t=（x-1）²+1為增函數(shù)，
∵y=lnt為增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知此時(shí)函數(shù)f（x）=ln（x²-2x+2）為增函數(shù)．
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)t=（x-1）²+1為減函數(shù)，
∵y=lnt為增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知此時(shí)函數(shù)f（x）=ln（x²-2x+2）為減函數(shù)．
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，0]和[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．