Question

14．若函數(shù)f（x）=asinx+cosx在區(qū)間$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解f′（x）≥0恒成立即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=acosx-sinx，
∵函數(shù)f（x）=asinx+cosx在區(qū)間$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在區(qū)間$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$上恒成立，
即f′（x）=acosx-sinx≥0，
即acosx≥sinx，
即a≥$\frac{sinx}{cosx}$=tanx
∵x∈$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$，
∴tan$\frac{π}{6}$＜tanx＜tan$\frac{π}{4}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜tanx＜1，
則a≥1，
故答案為：[1，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．