Question

命題p：不等式|x-1|+|x-3|＞a對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；命題q：函數(shù)f（x）=x³+2x²在[a，a+1]上單調(diào)遞減．若命題p或q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用三角絕對(duì)值不等式可求得命題p真時(shí)a＜2；利用導(dǎo)數(shù)法可求得命題q真時(shí)-

4

3

≤a≤-1；由命題p或q為真即可求得，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵|x-1|+|x-3|≥|（x-1）+（3-x）|=2，
∴a＜2；
又f（x）=x³+2x²在[a，a+1]上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=3x²+4x≤0在[a，a+1]上恒成立，即

3a2+4a≤0 3(a+1)2+4(a+1)≤0

，
解得：-

4

3

≤a≤-1；
∵命題p或q為真，∴命題p與命題q必有一真．
又[-

4

3

，-1]?（-∞，2），
∴命題p真時(shí)，a＜2；
命題p假q真時(shí)，a∈∅，
∴a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與恒成立問(wèn)題，考查邏輯聯(lián)接詞的理解與綜合應(yīng)用，屬于難題．