Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+4ax+2a+6．
（1）若函數(shù)的值域為[0，+∞），求a的值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求g（a）=-a•|a+3|+2的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的值域為[0，+∞）便有△=0，這樣即可解出a；
（2）由f（x）≥0恒成立，便有△=16a²-4（2a+6）≤0，這樣便可解出$-1≤a≤\frac{3}{2}$，根據(jù)a的范圍便可去絕對值號得到g（a）=-a²-3a+2，根據(jù)該二次函數(shù)的對稱軸即可判斷g（a）在區(qū)間$[-1，\frac{3}{2}]$上的單調性，從而求出g（a）的值域．

解答 解：（1）由題知f（x）的開口向上，值域為[0，+∞）；
∴△=16a²-4（2a+6）=0；
∴2a²-a-3=0；
∴a=-1或a=$\frac{3}{2}$；
（2）f（x）≥0恒成立，∴△≤0；
∴16a²-4（2a+6）≤0；
解得-1≤a≤$\frac{3}{2}$；
∴g（a）=-a（a+3）+2=-a²-3a+2，（-1≤a≤$\frac{3}{2}$）；
g（a）的對稱軸為a=-$\frac{3}{2}$，開口向下；
∴g（a）在[-1，$\frac{3}{2}$]上是減函數(shù)，g（-1）=-1+3+2=4，g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$+2=-$\frac{19}{4}$；
∴函數(shù)g（a）的值域為[-$\frac{19}{4}$，4]．

點評 考查二次函數(shù)的圖象和x軸的位置關系同判別式△取值的關系，解一元二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸判斷二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的單調性的方法，根據(jù)單調性求函數(shù)在閉區(qū)間上值域的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．