19．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-3|的圖象，可得它的圖象與直線y=4的交點為（-8，4）和（2，4），從而求得|2x+1|-|x-3|≤4的解集．
（2）由y=|2x+1|-|x-3|的圖象可知f（x）min=-$\frac{7}{2}$，由題意可得-a≥f（x）min，由此求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）y=|2x+1|-|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-2，-\frac{1}{2}＜x＜3}\\{x+4，x≥3}\end{array}\right.$，作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-3|的圖象，
可得它的圖象與直線y=4的交點為（-8，4）和（2，4）．
則|2x+1|-|x-3|≤4的解集為[-8，2]．
（2）由y=|2x+1|-|x-3|的圖象可知當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，f（x）min=-$\frac{7}{2}$，
∴存在x使得f（x）+a≤0成立，等價于-a≥f（x）min，
等價于a≤$\frac{7}{2}$．

點評 本題主要考查對由絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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