Question

13．如果有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）滿足條件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_k=a_n-k+1（k=1，2，…，n），我們稱數(shù)列{a_n}具有“性質(zhì)P”．設(shè)數(shù)列{c_n}是項數(shù)為7的具有“性質(zhì)P”的數(shù)列，其中c₁，c₂，c₃，c₄為等差數(shù)列，c₁，c₂，c₁+c₂+c₃是等比數(shù)列且log${\;}_{\frac{1}{3}}$c₂=-2，則數(shù)列{c_n}的所有項之和為75．

Answer 1

分析 由對數(shù)的性質(zhì)，可得c₂=9，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程，解方程可得c₁=3，c₃=15，c₄=21，即可得到數(shù)列{c_n}的所有項及和．

解答 解：log${\;}_{\frac{1}{3}}$c₂=-2，解得c₂=9，
c₁，c₂，c₃，c₄為等差數(shù)列，
則c₁+c₃=2c₂=18，
由c₁，c₂，c₁+c₂+c₃是等比數(shù)列，可得c₂²=27c₁，
可得c₁=3，c₃=15，c₄=21，
即數(shù)列{c_n}：3，9，15，21，15，9，3．
則數(shù)列{c_n}的所有項之和為$\frac{1}{2}$×（3+21）×4×2-21=75．
故答案為：75．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．