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設a1，a2，…，a2010都為正數，且a1+a2+…+a2010=1，則
a
2
1
2+a1
+
a
2
2
2+a2
+…+
a
2
2010
2+a2010
的最小值是
 
．
分析：利用題中條件：“a1+a2+…+a2010=1”構造柯西不等式：(
a
2
1
2+a1
+
a
2
2
2+a2
+…+
a
2
2010
2+a2010
)[(
2+a1
)2+(
2+a2
)2+…+(
2+a2010
)2]
≥（a1+a2+…+a2010）2這個條件進行計算最小值即可．
解答：解：由柯西不等式，得
(
a
2
1
2+a1
+
a
2
2
2+a2
+…+
a
2
2010
2+a2010
)[(
2+a1
)2+(
2+a2
)2+…+(
2+a2010
)2]
≥（a1+a2+…+a2010）2=1，
所以
a
2
1
2+a1
+
a
2
2
2+a2
+…+
a
2
2010
2+a2010
≥
1
4021
．
故最小值是
1
4021
．
故答案為：
1
4021
．
點評：本題考查用綜合法證明不等式、柯西不等式在函數極值中的應用，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設A1、A2是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為（　�。�
A、
x2
9
+
y2
4
=1
B、
y2
9
+
x2
4
=1
C、
x2
9
-
y2
4
=1
D、
y2
9
-
x2
4
=1

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科目：高中數學 來源： 題型：

10、設a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個排列，把排在ai的左邊且比ai小的數的個數稱為ai的順序數（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數為1，3的順序數為0．則在由1、2、3、4、5、6、7、8這八個數字構成的全排列中，同時滿足8的順序數為2，7的順序數為3，5的順序數為3的不同排列的種數為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•吉安縣模擬）設a1，a2，…，an是正整數1，2，3…n的一個排列，令bj表示排在j的左邊且比j大的數的個數，bj稱為j的逆序數，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序數是0，2的逆序數是3，則由1至9這9個數字構成的所有排列中，滿足1的逆序數是2，2的逆序數是3，5的逆序數是3的不同排列種數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：044

設A1、A2是橢圓+=1(a>b>0)長軸的兩個端點,P1P2是垂直于x軸的弦,求直線A1P1、A2P2的交點P的軌跡方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

設A1、A2是橢圓+=1(a>b>0)長軸的兩個端點,P1P2是垂直于x軸的弦,求直線A1P1、A2P2的交點P的軌跡方程.

 

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