Question

16．已知4x²+3y²=12，求x-3y的范圍．

Answer 1

分析 方法一、運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)x=$\sqrt{3}$cosα，y=2sinα，（0≤α＜2π），再由輔助角公式和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍；
方法二、令x-3y=t，可得x=3y+t，代入已知條件，整理得y的二次方程，運(yùn)用判別式非負(fù)，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：方法一、4x²+3y²=12即為
$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
設(shè)x=$\sqrt{3}$cosα，y=2sinα，（0≤α＜2π），
則x-3y=$\sqrt{3}$cosα-6sinα=$\sqrt{3+36}$cos（α+θ），
（其中cosθ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$），
可得cos（α+θ）=1時(shí)，x-3y取得最大值$\sqrt{39}$；
cos（α+θ）=-1時(shí)，x-3y取得最小值-$\sqrt{39}$．
即x-3y的范圍是[-$\sqrt{39}$，$\sqrt{39}$]．
方法二、令x-3y=t，可得x=3y+t，
代入方程4x²+3y²=12，可得
39y²+24ty+4t²-12=0，
由△≥0，即576t²-4×39（4t²-12）≥0，
解得-$\sqrt{39}$≤t≤$\sqrt{39}$，
則x-3y的范圍是[-$\sqrt{39}$，$\sqrt{39}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查給定條件下的取值范圍的求法，注意運(yùn)用換元法，考查橢圓的參數(shù)方程和二次方程的判別式法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．