Question

7．對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]（m＜n），使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“可等域區(qū)間”，已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b（a，b∈R）．
（I）若b=0，a=1，g（x）=|f（x）|是“可等域函數(shù)”，求函數(shù)g（x）的“可等域區(qū)間”；
（Ⅱ）若區(qū)間[1，a+1]為f（x）的“可等域區(qū)間”，求a、b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意可知，函數(shù)y=x和y=f（x）交點的橫坐標便是m，n的值，而b=0，a=1時，可以得到g（x）=|x²-2x|，從而解x=|x²-2x|便可得出函數(shù)g（x）的“可等域區(qū)間”；
（Ⅱ）據(jù)題意可知，方程x=x²-2ax+b的兩實根為x=1，或a+1，這樣將x=1，和x=a+1分別帶入方程便可得出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可得出a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）b=0，a=1時，g（x）=|x²-2x|，設(shè)y=g（x）；
解x=|x²-2x|得，x=0，1，或3；
∴函數(shù)g（x）的“可等域區(qū)間”為[0，1]，[0，3]，或[1，3]；
（Ⅱ）據(jù)題意知，方程x=x²-2ax+b的解為x=1或a+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=1-2a+b}\\{a+1={a}^{2}+2a+1-2{a}^{2}-2a+b}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\end{array}\right.$（舍去）；
即a=1，b=2．

點評 考查對“可等域函數(shù)”定義的理解，知道函數(shù)y=x定義域和值域相同，從而得出解方程x=f（x）即可得出m，n的值．