Question

7．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{e}$為單位向量，當$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{e}$的夾角為$\frac{2π}{3}$時，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$上的投影為$\frac{5\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 利用數量積運算、投影的意義即可得出．

解答 解：（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$）（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{e}$|²=16-1=15，
（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{e}$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{e}$|•cos$\frac{2π}{3}$=16+1-2×4×1×（-$\frac{1}{2}$）=21，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|=$\sqrt{21}$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$在$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$上的投影為$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{e}）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}|}$=$\frac{15}{\sqrt{21}}$=$\frac{5\sqrt{21}}{7}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{21}}{7}$

點評 本題考查了數量積運算、投影的意義，屬于基礎題．