Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x，求實(shí)數(shù)a的值及直線l的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x＞1，求證：lnx＜x-1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出a的值，從而求出函數(shù)的切點(diǎn)，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）由a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上單調(diào)遞減，得到f（x）＜f（1），從而證明結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1（a∈R），定義域?yàn)椋?，+∞），
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線l的斜率k=f′（1）=1-a，
∵切線l垂直于直線y=x，
∴1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=lnx-2x+1，f（1）=-1，
∴切點(diǎn)為（1，-1），
∴切線l的方程為y+1=-（x-1），
即x+y=0．
（2）由（1）知：${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，x＞0
當(dāng)a≤0時(shí)，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}=\frac{{-a（x-\frac{1}{a}）}}{x}$
若$0＜x＜\frac{1}{a}$，則f′（x）＞0；若$x＞\frac{1}{a}$，則f′（x）＜0，
此時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{1}{a}）$，單調(diào)遞減區(qū)間是 $（\frac{1}{a}，+∞）$，
綜上所述：
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{1}{a}）$，單調(diào)遞減區(qū)間是 $（\frac{1}{a}，+∞）$．
（3）由（2）知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=ln1-1+1=0，
∴x＞1時(shí)，lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．