Question

已知

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ），θ∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）若

a

⊥

b

，求θ的值；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用

a

⊥

b

?

a

•

b

=0，即可解得結(jié)論；
（2）|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(1+cosθ)2

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

，由θ∈(-

π

2

，

π

2

)，得-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故sin(θ+

π

4

)的最大值為1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意：

a

•

b

=sinθ+cosθ=0，…（2分）
∴

2

sin(θ+

π

4

)=0，∴θ+

π

4

=kπ，k∈Z，…（4分）∴θ=kπ-

π

4

，…（6分）
又∵θ∈(-

π

2

，

π

2

)，∴k=1，θ=-

π

4

…（7分）
（2）

a

+

b

=(sinθ+1，1+cosθ)
∴|

a

+

b

|=

(sinθ+1)2+(1+cosθ)2

=

2(sinθ+cosθ)+3

=

2 2 sin(θ+ π 4 )+3

…（10分）
又∵θ∈(-

π

2

，

π

2

)，∴-

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴sin(θ+

π

4

)的最大值為1，…（12分）
∴|

a

+

b

|的最大值為

2 2 +3

=

2

+1…（14分）

點評：本題主要考查向量垂直的性質(zhì)及向量求模的運算，考查三角函數(shù)求最值等知識，屬于中檔題．