【題目】如果無(wú)窮數(shù)列{an}滿足條件:①;② 存在實(shí)數(shù)M,使得an≤M,其中n∈N*,那么我們稱數(shù)列{an}為Ω數(shù)列.
(1)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=20n-2n,且是Ω數(shù)列,求M的取值范圍;
(2)設(shè){cn}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,c3=,S3=
,證明:數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的Ω數(shù)列,求證:dn≤dn+1.
【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出數(shù)列的最大項(xiàng)即可得;
(2)由等比數(shù)列的基本量法求出,根據(jù)數(shù)列新定義證明即可;
(3)用反證法,假設(shè)存在正整數(shù),使得
,由數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)得
,即
.然后利用新定義歸納
,這樣由
可得數(shù)列從某一項(xiàng)開(kāi)始為負(fù).與已知矛盾.從而證得結(jié)論.
解:(1)因?yàn)?/span>bn=20n-2n,所以,
所以當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
,
所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)是,
所以,所以M的取值范圍是
.
(2)設(shè){cn}的公比為,則
,c3=
,
整理得,解得
或
,因?yàn)?/span>
,所以
.
因?yàn)?/span>{cn}是等比數(shù)列,所以
所以
.
因?yàn)?/span>,所以數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列.
(3)假設(shè)存在正整數(shù),使得
,由數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)得
,即
.
因?yàn)閿?shù)列{dn}是Ω數(shù)列,所以,
所以,
同理,,
依此類推,得.
因?yàn)閿?shù)列{dn}是Ω數(shù)列,所以存在,
,所以當(dāng)
時(shí),
,與數(shù)列{dn}各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾,所以假設(shè)不成立,即對(duì)任意的正整數(shù)
,dn≤dn+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就,書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑,如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體,已知平面
,四邊形
為正方形,
,
,若鱉臑
的外接球的體積為
,則陽(yáng)馬
的外接球的表面積等于______。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在
軸和
軸上運(yùn)動(dòng),且
,若動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(1)求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),若以PQ直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn),求出直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)任意x∈R,存在函數(shù)f(x)滿足( )
A.f(cosx)=sin2xB.f(sin2x)=sinx
C.f(sinx)=sin2xD.f(sinx)=cos2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,直線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和直線C2的普通方程;
(2)若P(1,0),直線C2與曲線C1相交于A,B兩點(diǎn),求|PA||PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間
上的閉函數(shù):①
的定義域和值域都是
;②
在
上是增函數(shù)或者減函數(shù).
(1)若在區(qū)間
上是閉函數(shù),求常數(shù)
的值;
(2)找出所有形如的函數(shù)(
都是常數(shù)),使其在區(qū)間
上是閉函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)給出兩個(gè)條件:①,②
,從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并以此為依據(jù)求解問(wèn)題:(選出一種可行的條件解答,若兩個(gè)都選,則按第一個(gè)解答計(jì)分)在
中,
分別為內(nèi)角
所對(duì)的邊( ).
(1)求;
(2)若,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).
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【題目】已知多面體ABCDEF中,四邊形ABFE為正方形,,
,G為AB的中點(diǎn),
.
(1)求證:平面CDEF;
(2)求平面ACD與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
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