Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是等邊三角形．
（1）證明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，證明OE∥CD，得到PB⊥CD．
（2）由OE，OB，OP兩兩垂直．以O(shè)為原點(diǎn)，OE方向?yàn)閤軸正方向，OB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量為$\overrightarrow m$，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則ADEB為正方形，
過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，
連接OA，OB，OE，OD，…（2分）
由△PAB和△PAD都是等邊三角形可知PA=PB=PD，
所以O(shè)A=OB=OD，
即點(diǎn)O為正方形ADEB對角線的交點(diǎn)…（4分）
故OE⊥BD，從而OE⊥平面PBD，所以O(shè)E⊥PB，
因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥CD，因此PB⊥CD…（6分）
（2）由（1）可知，OE，OB，OP兩兩垂直．
以O(shè)為原點(diǎn)，OE方向?yàn)閤軸正方向，OB方向?yàn)閥軸正方向，OP方向?yàn)閦軸正方向，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz，…（7分）
設(shè)|AB|=2，則$A（-\sqrt{2}，0，0）$，$D（0，-\sqrt{2}，0）$，$P（0，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AP}=（\sqrt{2}，0，\sqrt{2}）$，…（8分）

設(shè)平面PAD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0$，
取x=1，得y=1，z=-1，即$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，…（10分）
因?yàn)镺E⊥平面PBD，設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow m$，取$\overrightarrow m=（1，0，0）$，
由圖象可知二面角A-PD-B的大小為銳角，…（11分）
所以二面角A-PD-B的余弦值為$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與直線的垂直，直線與平面垂直的想知道了的應(yīng)用，空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．