Question

16．空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良101-150為輕度污染；151-200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴重污染．
一環(huán)保人士記錄去年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖．
（Ⅰ）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良（AQI≤100）的天數(shù)；（按這個月總共30天）
（Ⅱ）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，由此能求出該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率，從而能估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)．
（2）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出ξ的概率分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，
空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，
∴該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為30×$\frac{3}{5}$=18．
（2）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
P（ξ=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=1.8．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．