【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且的周長為8.

(1)求橢圓的方程;

(2)若經(jīng)過原點的直線與橢圓相交于兩點,且,試判斷是否為定值?若為定值,試求出該定值;否則,請說明理由.

【答案】(1) 橢圓的方程為 (2)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意知, 的周長,求得的值,進(jìn)而得到的值,從而求得橢圓的方程;

(2)①當(dāng)直線在斜率不存在時,把代入橢圓方程,即可求解的值;

②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,聯(lián)立方程組,求得,利用弦長公式,求解,再根據(jù)因為,所以直線的方程為,聯(lián)立方程組,進(jìn)而求得則,即可得到結(jié)論.

試題解析:

(1)由題意知, 的周長為,所以,

又橢圓的離心率為,所以,

所以,故橢圓的方程為;

(2)①當(dāng)直線在斜率不存在時,其方程為,代入橢圓方程得,

不妨設(shè),則,

因為,所以直線的方程為,代入橢圓方程得

不妨設(shè),則,

所以;

②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,

消去

,

,則,

因為,所以直線的方程為,設(shè)

消去,則,

,

所以,綜上所述, 為定值

練習(xí)冊系列答案
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(2)當(dāng)為何值時,綠地面積最大?

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(1)求的值;

(2)試估計該學(xué)校所有學(xué)生在這一天的平均閱讀時間;

(3)若用分層抽樣的方法從這400名學(xué)生中抽取50人參加交流會,則在閱讀時間為的兩組中分別抽取多少人?

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點的直線(直線的斜率不為1)與橢圓交于兩點,點在點的上方,若,求直線的斜率.

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(2)已知為拋物線上一點,若點位于軸下方且,的值.

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組數(shù)

分組

認(rèn)同人數(shù)

認(rèn)同人數(shù)占
本組人數(shù)比

第一組

[25,30)

120

0.6

第二組

[30,35)

195

p

第三組

[35,40)

100

0.5

第四組

[40,45)

a

0.4

第五組

[45,50)

30

0.3

第六組

[50,55)

15

0.3


(1)完成所給頻率分布直方圖,并求n,a,p.
(2)若從[40,45),[45,50)兩個年齡段中的“認(rèn)同”人群中,按分層抽樣的方法抽9人參與座談會,然后從這9人中選2名作為組長,組長年齡在[40,45)內(nèi)的人數(shù)記為ξ,求隨機變量ξ的分布列和期望.

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