【題目】已知函數(shù)f(x)=mln(x+1),g(x)= (x>﹣1). (Ⅰ)討論函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線,試求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】解:(Ⅰ)F′(x)=f′(x)﹣g′(x) = = (x>﹣1),
當(dāng)m≤0時(shí),F(xiàn)′(x)<0,函數(shù)F(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)m>0時(shí),令F′(x)<0,可得x<﹣1+ ,函數(shù)F(x)在(﹣1,﹣1+ )上單調(diào)遞減;
F′(x)>0,可得>﹣1+ ,函數(shù)F(x)在(﹣1+ ,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)m≤0時(shí),F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1,+∞);
當(dāng)m>0時(shí),F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1,﹣1+ ),
增區(qū)間是(﹣1+ ,+∞)
(Ⅱ)函數(shù)f(x)=mln(x+1)在點(diǎn)(a,mln(a+1))處的切線方程為y﹣mln(a+1)= (x﹣a),
即y= x+mln(a+1)﹣ ,
函數(shù)g(x)= 在點(diǎn)(b, )處的切線方程為y﹣ = (x﹣b),
即y= x+
y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線
所以 = (1),mln(a+1)﹣ = (2),
有唯一一對(duì)(a,b)滿足這個(gè)方程組,且m>0
由(1)得:a+1=m(b+1)2代入(2)消去a,整理得:
2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0,關(guān)于b(b>﹣1)的方程有唯一解
令t(b)=2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1,
t′(b)= =
方程組有解時(shí),m>0,所以t(b)在(﹣1,﹣1+ )單調(diào)遞減,在(﹣1+ ,+∞)上單調(diào)遞增.
所以t(b)min=t((﹣1+ )=m﹣mlnm﹣1.
由b→+∞,t(b)→+∞;b→﹣1,t(b)→+∞,
只需m﹣mlnm﹣1=0
令u(m)=m﹣mlnm﹣1,u′(m)=﹣lnm在m>0為單減函數(shù),
且m=1時(shí),u′(m)=0,即u(m)min=u(1)=0,
所以m=1時(shí),關(guān)于b的方程2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解.
此時(shí)a=b=0,公切線方程為y=x
【解析】(Ⅰ)求得F(x)的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)m≤0時(shí),當(dāng)m>0時(shí),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;(Ⅱ)分別求出f(x),g(x)在切點(diǎn)處的斜率和切線方程,化為斜截式,可得y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線等價(jià)為 = (1),mln(a+1)﹣ = (2),有唯一一對(duì)(a,b)滿足這個(gè)方程組,且m>0,消去a,得到b的方程,構(gòu)造函數(shù),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性,得到最值,即可得到a=b=0,公切線方程為y=x.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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,

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C.
D.

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