【題目】已知函數f(x)=mln(x+1),g(x)= (x>﹣1). (Ⅰ)討論函數F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1,+∞)上的單調性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線,試求實數m的值.
【答案】解:(Ⅰ)F′(x)=f′(x)﹣g′(x) = ﹣
=
(x>﹣1),
當m≤0時,F′(x)<0,函數F(x)在(﹣1,+∞)上單調遞減;
當m>0時,令F′(x)<0,可得x<﹣1+ ,函數F(x)在(﹣1,﹣1+
)上單調遞減;
F′(x)>0,可得>﹣1+ ,函數F(x)在(﹣1+
,+∞)上單調遞增.
綜上所述,當m≤0時,F(x)的減區(qū)間是(﹣1,+∞);
當m>0時,F(x)的減區(qū)間是(﹣1,﹣1+ ),
增區(qū)間是(﹣1+ ,+∞)
(Ⅱ)函數f(x)=mln(x+1)在點(a,mln(a+1))處的切線方程為y﹣mln(a+1)= (x﹣a),
即y= x+mln(a+1)﹣
,
函數g(x)= 在點(b,
)處的切線方程為y﹣
=
(x﹣b),
即y= x+
.
y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線
所以 =
(1),mln(a+1)﹣
=
(2),
有唯一一對(a,b)滿足這個方程組,且m>0
由(1)得:a+1=m(b+1)2代入(2)消去a,整理得:
2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0,關于b(b>﹣1)的方程有唯一解
令t(b)=2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1,
t′(b)= ﹣
=
,
方程組有解時,m>0,所以t(b)在(﹣1,﹣1+ )單調遞減,在(﹣1+
,+∞)上單調遞增.
所以t(b)min=t((﹣1+ )=m﹣mlnm﹣1.
由b→+∞,t(b)→+∞;b→﹣1,t(b)→+∞,
只需m﹣mlnm﹣1=0
令u(m)=m﹣mlnm﹣1,u′(m)=﹣lnm在m>0為單減函數,
且m=1時,u′(m)=0,即u(m)min=u(1)=0,
所以m=1時,關于b的方程2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解.
此時a=b=0,公切線方程為y=x
【解析】(Ⅰ)求得F(x)的導數,討論當m≤0時,當m>0時,由導數大于0,可得增區(qū)間;導數小于0,可得減區(qū)間,注意定義域;(Ⅱ)分別求出f(x),g(x)在切點處的斜率和切線方程,化為斜截式,可得y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線等價為 =
(1),mln(a+1)﹣
=
(2),有唯一一對(a,b)滿足這個方程組,且m>0,消去a,得到b的方程,構造函數,求出導數和單調性,得到最值,即可得到a=b=0,公切線方程為y=x.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某公司為鄭州園博園生產某特許商品,該公司年固定成本為10萬元,每生產千件需另投入2 .7萬元,設該公司年內共生產該特許商品工x千件并全部銷售完;每千件的銷售收入為R(x)萬元,
且,
(I)寫出年利潤W(萬元〉關于該特許商品x(千件)的函數解析式;
〔II〕年產量為多少千件時,該公司在該特許商品的生產中所獲年利潤最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線G:y2=2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線G交于M、N兩點(M在x軸上方),滿足 ,
,則以M為圓心且與拋物線準線相切的圓的標準方程為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】函數f(x)=(m2-m-1)·是冪函數,對任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,滿足
,若a,b∈R且a+b>0,ab<0,則f(a)+f(b)的值( )
A. 恒大于0 B. 恒小于0
C. 等于0 D. 無法判斷
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn , Sn=2an﹣1,{bn}是等差數列,且b1=a1 , b4=a3 .
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若 ,求數列{cn}的前n項和Tn .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.
(1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;
(2)規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對理科題的概率均為,答對文科題的概率均為
,若每題答對得10分,否則得零分.現該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分
的分布列與數學期望
.
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