Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n-a_n=

(an-1)2

4

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2），兩式作差即可求得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n-a_n=

(an-1)2

4

．
∴4s_n=

a

2 n

+2a_n+1，
4s_n-1=

a

2 n-1

+2a_n-1+1（n≥2），
∴兩式作差得a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（2n-1′），
∴T_n=2×1+2²×3+…+2ⁿ（2n-1），①
2T_n=2²×1+2³×3+…+2ⁿ⁺¹（2n-1），②
由②-①得，T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列和的求法錯(cuò)位相減法等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．