Question

在三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF=2FP．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求證：CM∥平面BEF；
（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由PB⊥底面ABC，可證AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可證明AC⊥平面PBC．                          
（Ⅱ）取AF的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，GM．可得EF∥CG．又CG?平面BEF，有EF?平面BEF，有CG∥平面BEF，同理證明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可證明CM∥平面BEF．
（Ⅲ）取BC中點(diǎn)D，連結(jié)ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱錐E-ABC的體積．

解答： （共14分）
證明：（Ⅰ）因?yàn)镻B⊥底面ABC，且AC?底面ABC，
所以AC⊥PB．
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．
又PB∩CB=B，
所以AC⊥平面PBC． …（5分）
（Ⅱ）取AF的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，GM．
因?yàn)锳F=2FP，G為AF中點(diǎn)，所以F為PG中點(diǎn)．
在△PCG中，E，F(xiàn)分別為PC，PG中點(diǎn)，
所以EF∥CG．又CG?平面BEF，EF?平面BEF，
所以CG∥平面BEF．
同理可證GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，
所以平面CMG∥平面BEF．
又CM?平面CMG，
所以CM∥平面BEF．…（11分）
（Ⅲ）取BC中點(diǎn)D，連結(jié)ED．
在△PBC中，E，D分別為中點(diǎn)，所以ED∥PB．
因?yàn)镻B⊥底面ABC，所以ED⊥底面ABC．
由PB=BC=CA=2，可得V=

1

3

S△ABC•ED=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

． …（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，三棱錐體積公式的應(yīng)用，正確做出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．