Question

1．在如圖所示的空間幾何體中，AC⊥BC，四邊形DCBE為矩形，點(diǎn)F，M分別為AB，CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FM∥平面ADE；
（Ⅱ）求證：平面ACD⊥平面ADE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中點(diǎn)N，連結(jié)MN、FN，推導(dǎo)出平面FMN∥平面ADE，由此能證明FM∥平面ADE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BC⊥DC，BC⊥平面ACD，從而DE⊥平面ACD，由此能證明平面ACD⊥平面ADE．

解答 證明：（Ⅰ）取BE中點(diǎn)N，連結(jié)MN、FN，
∵F、M、N分別為AB、CD、BE的中點(diǎn)，
∴MN∥DE，F(xiàn)N∥AE，
又∵AE，DE?平面ADE，F(xiàn)N、MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE，F(xiàn)N∥ADE，
MN∩FN=N，∴平面FMN∥平面ADE，
FM?平面FMN，∴FM∥平面ADE．
（Ⅱ）∵四邊形DCBE為矩形，∴BC⊥DC，
又AC⊥BC，AC∩DC=C，∴BC⊥平面ACD，
又∵BC∥DE，∴DE⊥平面ACD，
∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．