Question

4．設(shè)sinα，cosα是方程5x²+7x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)根．
（I）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）求（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由韋達(dá)定理得sinα+cosα=-$\frac{7}{5}$，sinαcosα=$\frac{m-1}{5}$，由此利用同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）由同角三角函數(shù)關(guān)系式得（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα=cos³α+sin³α，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα，cosα是方程5x²+7x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴sinα+cosα=-$\frac{7}{5}$，sinαcosα=$\frac{m-1}{5}$，
∴1+2sinαcosα=1+$\frac{2m-2}{5}$=$\frac{49}{25}$，
解得m=$\frac{17}{5}$．
（Ⅱ）（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα
=cos³α+sin³α
=（cosα+sinα）（cos²α-cosαsinα+sin²α）
=-$\frac{7}{5}$（1-$\frac{\frac{17}{5}-1}{5}$）
=$\frac{91}{125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．