Question

10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為$\frac{17}{2}π$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱錐，并判斷出先、面的位置關(guān)系和求出長度，再判斷出該幾何體外接球的球心的位置，由圖形和勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，求出該幾何體外接球的半徑和表面積．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱錐，如下圖所示：
D、E分別是BC、PA的中點(diǎn)，連結(jié)DE，
由俯視圖得：底面是底和底邊的高都為2的等腰三角形，
所以腰長AB=AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又正視圖和俯視圖得：PD⊥平面ABC，PD⊥AD，
則PA=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\frac{1}{2}$PA=$\sqrt{2}$，
設(shè)外接球的球心是O，則O在DE，連OA、OB、OC、OP，
因?yàn)镻D⊥BC，AD⊥BC，PD∩AD=D，
所以BC⊥平面ABD，則BC⊥OD，
設(shè)外接球的半徑為R，則OP=OB=R，
所以O(shè)D=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-1}$，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{R}^{2}-2}$，
由DE=OD+OE得，$\sqrt{2}=\sqrt{{R}^{2}-1}+\sqrt{{R}^{2}-2}$，
化簡解得，R²=$\frac{17}{8}$，
所以該幾何體外接球的表面積S=4πR²=$\frac{17}{2}π$，
故答案為：$\frac{17}{2}π$．

點(diǎn)評 本題考查三視圖求幾何體的體積，考查空間想象能力、推理能力，三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．