【題目】設(shè)橢圓方程+=1（a＞b＞0），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為4，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．

（1）求橢圓方程；

（2）若M，N是橢圓C上的點(diǎn)，且直線OM與ON的斜率之積為﹣，是否存在動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0），若=+2，有x02+2y02為定值

【答案】（1）（2）存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0）

【解析】

試題分析：（1）由已知得2a=4，，由此能求出橢圓方程；（2）存在這樣的點(diǎn)P．設(shè)M ，N ，由，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0）

試題解析：（1）因?yàn)?/span>2a=4，所以，a=2，（2分）

∵過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．

∴由橢圓的對(duì)稱性知，橢圓過(guò)點(diǎn)（c，1），即，（4分）

c2=4﹣b2，解得b2=2，橢圓方程為．（7分）

（2）存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0）．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

則kOMkON==﹣，化簡(jiǎn)為x1x2+2y1y2=0，（9分）

∵M，N是橢圓C上的點(diǎn)，∴，，

由=，得，（12分）

∵=（x1+2x2）2+（y1+2y2）2

=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=4+4×4+0=20，

即存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和等于6，寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓．

（1）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（2）圓是以1為半徑，圓心在圓：上移動(dòng)的動(dòng)圓 ，若圓上任意一點(diǎn)分別作圓 的兩條切線，切點(diǎn)為，求的取值范圍；

（3）若動(dòng)圓同時(shí)平分圓的周長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證：為上的增函數(shù)；

（3）解關(guān)于的不等式：.（其中且為常數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是矩形，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線．給出以下幾個(gè)說(shuō)法：

①雙曲線是黃金雙曲線；

②若雙曲線上一點(diǎn)到兩條漸近線的距離積等于，則該雙曲線是黃金雙曲線；

③若為左右焦點(diǎn)，為左右頂點(diǎn)，且，則該雙曲線是黃金雙曲線；

④．若直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)交雙曲線于兩點(diǎn)，且，，則該雙曲線是黃金雙曲線；

其中正確命題的序號(hào)為 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為λ，6，3λ，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝165.

(1)求λ及k的值；

(2)設(shè)bn＝，且數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，證明：≤Tn<1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校在2016年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布如圖所示.

（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再畫出頻率分布直方圖；

（2）該高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？

（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官的面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí), 求曲線的極值;

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）若對(duì)任意及時(shí), 恒有成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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