Question

12．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，PA=PD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BEF；
（2）若直線PC與AB所成的角為45°，求線段PE的長．

Answer 1

分析 （1）以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明直線PA∥平面BEF．
（2）由$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，t），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），直線PC與AB所成的角為45°，利用向量法能求出PE．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，
BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，PA=PD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)，
∴PE⊥平面ABCD，BE⊥AE，
以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），E（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），
設(shè)P（0，0，t），則F（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-t），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（0，1，0），
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=y=0}\end{array}\right.$，取x=t，得$\overrightarrow{n}$=（t，0，1），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{n}$=t-t=0，且PA?平面BEF，
∴直線PA∥平面BEF．
解：$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，t），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），
∵直線PC與AB所成的角為45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{|1+1+0|}{\sqrt{2+{t}^{2}}•\sqrt{2}}$，
解得t=$\sqrt{2}$，或t=-$\sqrt{2}$（舍），
∴PE=t=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．