Question

設f（x）＝ax3＋bx＋c為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x－6y－7＝0垂直，導函數(shù)f′（x）的最小值為－12.

（1）求a，b，c的值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，極大值和極小值，并求函數(shù)f（x）在[－1,3]上的最大值與最小值．

 

Answer 1

（1）a＝2，b＝－12，c＝0.；（2）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（－∞，－），（，＋∞）．

的極大值為，極小值為又，所以當時，取得最小值為，當x＝3時取得最大值1.

【解析】

試題分析：利用導數(shù)的幾何意義求曲線在點（1，f（1））處的切線方程，注意這個點的切點.（2）解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.（3）分類討論是學生在學習過程中的難點，要找好臨界條件進行討論.

試題解析：（1）∵為奇函數(shù)，∴．

即∴.∵的最小值為－12，∴.

又直線x－6y－7＝0的斜率為，因此，

故，，.

（2）f（x）＝2x3－12x，f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），

列表如下

X	（－∞，－）	－	（－，）		（，＋∞）
f′（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）		極大		極小

 

所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（－∞，－），（，＋∞）．

f（x）的極大值為f（－）＝8，極小值為

f（）＝－8

又f（－1）＝10，f（3）＝18，所以當x＝時，f（x）取得最小值為－8，當x＝3時f（x）取得最大值1

考點：（1）由函數(shù)的性質求參量；（2）函數(shù)性質的應用 .