Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x（x+a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法進(jìn)行參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：（?）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f^/}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）
（Ⅱ）由f（x）＞x（x+a）得x²-2lnx＞x（x+a），
∴ax＜-2lnx，
∴$a＜-\frac{2lnx}{x}$
記$g（x）=-\frac{2lnx}{x}$，
則${g^/}（x）=-\frac{2-2lnx}{x^2}$，
令g′（x）=0得x=e
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＞0
∴g（x）的最小值為$g（e）=-\frac{2}{e}$，
于是$a＜-\frac{2}{e}$
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{2}{e}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．