Question

16．已知m＞0，n＞0，$\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}$+mn的最小值為t．
（1）求t值
（2）解關于x的不等式|x-1|＜t+2x．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式、不等式的性質(zhì)求得$\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}+mn$的最小值為4，從而求得t的值．
（2）不等式|x-1|＜4+2x，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）因為m＞0，n＞0，∴$\frac{2}{{m}^{2}}+\frac{2}{{n}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{4}{{m}^{2}{•n}^{2}}}$=$\frac{4}{mn}$ ①，
則$\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}+mn≥\frac{4}{mn}+mn$，而$\frac{4}{mn}+mn$≥2$\sqrt{4}$=4 ②，
所以$\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}+mn≥4$③，當且僅當m=n時，①式等號成立，當且僅當$\frac{4}{mn}=mn$時，②式等號成立，
故當且僅當$m=n=\sqrt{2}$時，③式等號成立，
即$\frac{2}{m^2}+\frac{2}{n^2}+mn$取得最小值4，故t=4．
（2）由（1）知，t=4時，則|x-1|＜t+2x，∴-4-2x＜x-1＜4+2x，解得x＞-1，
即原不等式的解集為（-1，+∞）．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，解絕對值不等式，屬于中檔題．