Question

6．三個女生和五個男生排成一排．
（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？
（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？
（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？
（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？
（5）甲必須在乙的右邊，可有多少種不同的排法？

Answer 1

分析 （1）女生必須全排在一起，利用捆綁法；
（2）女生必須全分開，利用插空法；
（3）因?yàn)閮啥瞬荒芘排�生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，其余六位都有A₆⁶種排法；
（4）三個女生和五個男生排成一排有A₈⁸種排法，從中扣去兩端都是女生的排法A₃²A₆⁶ 種，可得結(jié)論；
（5）甲必須在乙的右邊，用除法．

解答 解：（1）因?yàn)槿齻�女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有A₆⁶種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A₃³種不同的排法，因此共有A₆⁶A₃³=4 320種不同的排法．
（2）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩端兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有A${\;}_{5}^{5}$種不同的排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有A${\;}_{6}^{3}$種方法，因此共有A${\;}_{5}^{5}$A${\;}_{6}^{3}$=14 400種不同的排法．
（3）因?yàn)閮啥瞬荒芘排�生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有A₅² 種排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A₆⁶種排法，所以共有A₅² A₆⁶=14 400種不同的排法．
（4）三個女生和五個男生排成一排有A₈⁸種排法，從中扣去兩端都是女生的排法A₃²A₆⁶ 種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)，因此共有A₈⁸-A₃²A₆⁶=36 000種不同的排法．
（5）甲必須在乙的右邊即為所有排列的$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$，因此共有A₈⁸•$\frac{1}{{A}_{2}^{2}}$=20 160種不同的排法．

點(diǎn)評 本題考查排列的應(yīng)用，相鄰問題一般看作一個整體處理，不相鄰，用插空法，屬于中檔題．