Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上頂點(diǎn)M與左、右焦點(diǎn)F₁、F₂構(gòu)成三角形MF₁F₂面積為$\sqrt{3}$，又橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的下頂點(diǎn)為N，過(guò)點(diǎn)T（t，2）（t≠0）的直線TM，TN分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若△TMN的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的上頂點(diǎn)M與左、右焦點(diǎn)構(gòu)成三角形面積為$\sqrt{3}$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN||t|=|t|，直線TM的方程為：y=$\frac{1}{t}x+1$，直線TN的方程為：y=$\frac{3}{t}x-1$，求出E、F、E到直線TN：3x-ty-t=0的距離和TF，從而得到k=$\frac{{S}_{△TMN}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$，由此能求出k的最大值．

解答 解：（1）橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又$bc=\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵S_△TMN=$\frac{1}{2}$|MN||t|=|t|，
直線TM的方程為：y=$\frac{1}{t}x+1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{1}{t}x+1}\end{array}\right.$，得${x}_{E}=\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，
∴E（$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$），
直線TN的方程為：y=$\frac{3}{t}x-1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{3}{t}-1}\end{array}\right.$，得${x}_{F}=\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，
∴F（$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$，$\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}$），
∵E到直線TN：3x-ty-t=0的距離：
d=$\frac{|\frac{-24t}{{t}^{2}+4}-\frac{t（{t}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}-t|}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$=$\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$，
TF=$\sqrt{（t-\frac{24t}{{t}^{2}+36}）^{2}+（2-\frac{36-{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{t}^{2}（{t}^{2}+12）^{2}+（3{t}^{2}+36）^{2}}{（{t}^{2}+36）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{t}^{2}+12）^{2}（{t}^{2}+9）}{（{t}^{2}+36）^{2}}}$
=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}TF•d$=$\frac{1}{2}×\frac{{（t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}×\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}$，
∴S_△TEF=$\frac{1}{2}TF•d$=$\frac{1}{2}×\frac{（{t}^{2}+12）\sqrt{{t}^{2}+9}}{{t}^{2}+36}×\frac{2|t|（{t}^{2}+12）}{\sqrt{{t}^{2}+9}（{t}^{2}+4）}$=$\frac{|t|（{t}^{2}+12）^{2}}{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}$，
∴k=$\frac{{S}_{△TMN}}{{S}_{△TEF}}$=$\frac{（{t}^{2}+36）（{t}^{2}+4）}{（{t}^{2}+12）^{2}}$，
令t²+12=n＞12，則k=$\frac{（n-8）（n+24）}{{n}^{2}}$=1+$\frac{16}{n}-\frac{192}{{n}^{2}}$≤$\frac{4}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=24，即t=$±2\sqrt{3}$時(shí)，等號(hào)成立，
∴k的最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．