Question

12．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），右焦點到橢圓上的點的距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點A，B是橢圓C上的兩個動點，直線OA，OB與橢圓的另一交點分別為A₁，B₁，且直線OA，OB的斜率之積等于-$\frac{3}{4}$，問四邊形ABA₁B₁的面積S是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和橢圓的最值的結(jié)論，解關(guān)于a，b，c的方程組，求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）討論直線AB的斜率不存在，求得A的坐標(biāo)，由面積公式可得S；直線AB的斜率存在時，設(shè)AB：y=kx+m，代入橢圓方程3x²+4y²=12，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達(dá)定理和弦長公式，點到直線的距離公式，面積公式，化簡整理，即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右焦點（c，0）到橢圓上的點的距離的最大值為3，
可得c+a=3，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）結(jié)論：四邊形ABA₁B₁的面積為定值4$\sqrt{3}$．
理由如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，
設(shè)A（x，y），可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，又$\frac{-{y}^{2}}{{x}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
解得|x|=$\sqrt{2}$，|y|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則S=4|xy|=4$\sqrt{3}$；
當(dāng)直線AB的斜率存在，設(shè)AB：y=kx+m，代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即為3+4k²＞m²，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由題意可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即3x₁x₂+4y₁y₂=0，
即（3+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
代入韋達(dá)定理，可得3+4k²=2m²，
由|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}•|m|}{2{m}^{2}}$，
由O到直線AB的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S=4S_△OAB=2|AB|d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}•|m|}{2{m}^{2}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$．
綜上可得，四邊形ABA₁B₁的面積S為定值4$\sqrt{3}$．

點評 本題是一道直線與橢圓的綜合題，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點到直線的距離、三角形面積公式，韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．