Question

在四棱錐C-ABEF，底面ABEF是矩形，F(xiàn)A⊥平面ABC，D是棱AB的中點，點H在棱BE上，且AC=BC=

2

，AB=2，AF=3．
（1）設(shè)BH=λBE，若FH⊥平面DHC，求λ的值；
（2）在（1）的條件下，求當(dāng)λ＞

1

2

時，二面角D-CF-H的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過C作CG⊥平面ABC，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CG為z軸建立直角坐標(biāo)系，利用FH⊥平面DHC，建立方程，即可求λ的值；
（2）求出平面DCF的一個法向量、平面HCF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求當(dāng)λ＞

1

2

時，二面角D-CF-H的余弦值．

解答： 解：（1）∵AC²+BC²=AB²
∴∠ACB=90°
過C作CG⊥平面ABC，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CG為z軸建立直角坐標(biāo)系，則A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，0，0），D（

2

2

，

2

2

，0），E（0，

2

，3），F(xiàn)（

2

，0，3），H（0，

2

，3λ）
∴

FH

=（-

2

，

2

，3λ-3），

CD

=（

2

2

，

2

2

，0），

CH

=（0，

2

，3λ）
若FH⊥平面DHC，則2+3λ（3λ-3）=0，∴⇒λ₁=

1

3

，λ₂=

2

3

（2）λ=

2

3

，即H（0，

2

，2），設(shè)平面DCF的一個法向量為（x，y，z），則
∵

CD

=（

2

2

，

2

2

，0），

CF

=（

2

，0，3），
∴

2 2 x+ 2 2 y=0 2 x+3z=0

∴取平面DCF的一個法向量為（1，-1，

2

3

）
同理可得平面HCF的一個法向量為（

3 2

2

，

2

，1）
∴二面角D-CF-H余弦值=

3 2 2 -2+ 2 3

1+1+ 2 9 • 9 2 +2+1

=

3

6

．

點評：本題考查線面垂直，考查二面角D-CF-H余弦值，正確建立坐標(biāo)系，利用向量方法是關(guān)鍵．