Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=k（x-1）（k＞0）交橢圓C于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．直線l₁與直線l₂：x=6交于點(diǎn)D，直線l₃：x=1與橢圓C在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（用k表示）；
（2）求證：直線MA，MD，MB的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C的離心率以及左焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離，求出a、c的值，再求出b²即可得出橢圓C的方程；
（Ⅱ）（1）由直線l₁與橢圓C方程聯(lián)立，求出方程組的解即可得A、B的坐標(biāo)；
（2）由直線l₃與橢圓C組成方程組，求出M的坐標(biāo)，直線l₁與直線l₂組成方程組，求出D的坐標(biāo)，計(jì)算直線MD、MA與MB的斜率值，判斷直線MA、MD、MB的斜率是否成等差數(shù)列即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，橢圓C的離心率為e=

c

a

=

6

3

∴c=

6

3

a；
又∵左焦點(diǎn)F（-c，0）到左準(zhǔn)線l：x=-

a2

c

的距離為1，
∴-c+

a2

c

=1，
即-

6

3

a+

3a

6

=1，
解得a=

6

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=2；
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；…（4分）
（Ⅱ）（1）根據(jù)題意，
由直線l₁與橢圓C方程聯(lián)立，得

y=k(x-1) x2+3y2=6

，
解方程組，得A（

3k2+ 3(5k2+2)

1+3k2

，

k( 3(5k2+2) -1)

1+3k2

）；
B（

3k2- 3(5k2+2)

1+3k2

，

-k( 3(5k2+2) +1)

1+3k2

）；…（10分）
（2）由直線l₃與橢圓C組成方程組

x=1 x2+3y2=6

，
解得M（1，

5 3

）；…（11分）
由直線l₁與直線l₂組成方程組

y=k(x-1) x=6

，
解得D（6，5k），
∴直線MD的斜率是k_MD=

5k- 5 3

6-1

=k-

1

15

；…（12分）
直線MA的斜率是k_MA=

k( 3(5k2+2) -1) 1+3k2 - 5 3

3k2+ 3(5k2+2) 1+3k2 -1

=

k( 3(5k2+2) -1)- 5 3 (1+3k2)

3(5k2+2) -1

；
直線MB的斜率是k_MB=

-k( 3(5k2+2) +1) 1+3k2 - 5 3

3k2- 3(5k2+2) 1+3k2 -1

=

k( 3(5k2+2) +1)+ 5 3 (1+3k2)

3(5k2+2) +1

；
∵k_MA+k_MB
=

[k( 3(5k2+2) -1)- 5 3 (1+3k2)][ 3(5k2+2) +1]+[k( 3(5k2+2) +1)+ 5 3 (1+3k2)][ 3(5k2+2) -1]

3(5k2+2)-1

=

-2 5 3 (1+3k2)+2k(15k2+5)

15k2+5

=2k-

2

15

=2k_MD；
∴直線MA、MD、MB的斜率成等差數(shù)列．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，重點(diǎn)考查了計(jì)算能力，是較難的題目．