Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)M（-1，2）且與直線y=x垂直，拋物線C：y=x² 與直線l交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，求P的坐標(biāo)和點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由于直線l過(guò)點(diǎn)M（-1，2）且與直線y=x垂直，可得直線l的斜率k=-1，其傾斜角α=

3π

4

，即可直線l的參數(shù)方程為：

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

，（t為參數(shù)）化簡(jiǎn)即可．
（2）將

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

代入y=x² 可得t2+

2

t-2=0．設(shè)A與B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，可得

t1+t2

2

，t₁t₂．
所以線段AB中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

t1+t2

2

=-

2

2

，即可得出中點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)M到兩點(diǎn)A與B的距離之積為|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|．

解答： 解：（1）∵直線l過(guò)點(diǎn)M（-1，2）且與直線y=x垂直，∴直線l的斜率k=-1，其傾斜角α=

3π

4

，
∴直線l的參數(shù)方程為：

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

，化為

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
（2）將

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

代入y=x² 可得t2+

2

t-2=0．
設(shè)A與B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則

t1+t2

2

=-

2

2

，t₁t₂=-2．
所以線段AB中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

t1+t2

2

=-

2

2

，
∴中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1

2

，

3

2

)；
點(diǎn)M到兩點(diǎn)A與B的距離之積為|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、直線與拋物線相交問(wèn)題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．