Question

19．已知n條直線l₁：x-y+C₁=0，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0…，l_n：x-y+C_n=0，（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n）在這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2，3，4，…，n（即l₂直線與直線l₁的距離為2，l₃直線與直線l₂的距離為3，…）
（1）若C₁=$\sqrt{2}$，求：①C₂的值 ②直線x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成圖形的面積S；
（2）若C₁=-10$\sqrt{2}$，求直線ln：x-y+C_n=0到原點的距離d，并求d_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由平行線的距離公式得$\frac{|{c}_{2}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2，從而解得；②由$\frac{|{c}_{n}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2+3+4+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$解得c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$；從而求面積；
（2）化簡c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$-10$\sqrt{2}$，從而求d_n=$\frac{|\frac{（n+2）（n-1）}{2}\sqrt{2}-10\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|$\frac{{n}^{2}+n-22}{2}$|；從而求最小值．

解答 解：（1）若C₁=$\sqrt{2}$，
①由題意，$\frac{|{c}_{2}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2，
即|c₂-$\sqrt{2}$|=2$\sqrt{2}$；
又∵C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n，
故c₂=3$\sqrt{2}$；
②由題意得，$\frac{|{c}_{n}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2+3+4+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$；
故|c_n-$\sqrt{2}$|=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$；
故c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$；
則直線x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成圖形的面積
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$；
（2）若C₁=-10$\sqrt{2}$，則c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$-10$\sqrt{2}$，
則d_n=$\frac{|\frac{（n+2）（n-1）}{2}\sqrt{2}-10\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|$\frac{{n}^{2}+n-22}{2}$|；
而d₄=1，d₅=4；
故d_n的最小值為1．

點評 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了平行線的距離公式與應(yīng)用，屬于中檔題．