Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n ，且a_n=S_n•S_n-1（n≥2），a₁=$\frac{2}{9}$，則a₁₀=$\frac{4}{63}$．

Answer 1

分析 a_n=S_n•S_n-1（n≥2），可得S_n-S_n-1=S_nS_n-1，變形為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推式可得a_n．

解答 解：∵a_n=S_n•S_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-1，∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{9}{2}$，公差為-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{9}{2}-（n-1）$，
化為S_n=$\frac{2}{11-2n}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{11-2n}-\frac{2}{13-2n}$．
∴a₁₀=$\frac{2}{11-20}-\frac{2}{13-20}$=$\frac{4}{63}$．
故答案為：$\frac{4}{63}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．