已知拋物線C1：y=x2，橢圓C2：x2+
y2
4
=1．
（1）設(shè)l1，l2是C1的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l1∩l2=M，證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（2）在C1上是否存在點(diǎn)P，使得C1在點(diǎn)P處切線與C2相交于兩點(diǎn)A、B，且AB的中垂線恰為C1的切線？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）y′=2x，
設(shè)切點(diǎn)分別為（x1，x12），（x2，x22）
則l1方程為y-x12=2x1（x-x1）
即y=2x1x-x12 ①
l2方程為y=2x2x-x22 ②
由l1⊥l2得2x12x2=-1
即x1x2=-
1
4

所以yM=-
1
4
，
即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值-
1
4
．
（2）設(shè)P（x0，x02），
則C1在點(diǎn)P處切線方程為：y=2x0x-x02
代入C2方程4x2+y2-4=0
得4x2+（2x0x-x02）-4=0
即（4+4x02）x2-4x03x+x04-4=0
設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4）
則x3+x4=
x30
1+
x20
，x3•x4=
x40
-4
4+4
x20

△=16x06-16（1+x02）（x04-4）=16（4+4x02-x04）＞0   ③
由（1）知yM=-
1
4

從而
y3+y4
2
=-
1
4
，
即x0(x3+x4)-
x20
=--
1
4

進(jìn)而得
x40
1+
x20
-
x20
=-
1
4

解得
x20
=
1
3
，且滿足③
所以這樣點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為(±
3
3
，
1
3
)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y=2x2與拋物線C2關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，則C2的準(zhǔn)線方程為（　�。�
A、x=
1
8
B、x=-
1
8
C、x=
1
2
D、x=-
1
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2，橢圓C2：x2+
y24
=1．
（1）設(shè)l1，l2是C1的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l1∩l2=M，證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（2）在C1上是否存在點(diǎn)P，使得C1在點(diǎn)P處切線與C2相交于兩點(diǎn)A、B，且AB的中垂線恰為C1的切線？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2+2x和C：y=-x2+a，如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段．
（Ⅰ）a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a．a(chǎn)取何值時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線l，求出公切線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y=x2，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF|=
3
4
，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與拋物線C1交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，l與橢圓C2交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為R，PQ中點(diǎn)為S，若O在以RS為直徑的圓上，且k 2＞
1
2
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案