15.設(shè)實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則
(1)t=ab+bc+ca的最大值為$\frac{1}{3}$.
(2)t=2ab+bc+2ca的最大值為$\frac{4}{7}$.

分析 (1)將等式兩邊平方,再由不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即可得到所求最大值;
(2)由a+b+c=1可得b+c=1-a,又t=bc+2a(b+c)=bc+2a(1-a),運用基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法,即可得到所求最大值.

解答 解:(1)由a+b+c=1可得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1,
由a2+b2+c2≥ab+bc+ca,可得1≥3(ab+bc+ca),
即有ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$,取得最大值$\frac{1}{3}$;
(2)由a+b+c=1可得b+c=1-a,
又t=bc+2a(b+c)=bc+2a(1-a)
≤($\frac{b+c}{2}$)2+2a(1-a)=$\frac{1}{4}$[(1-a)2+8a(1-a)]
=$\frac{1}{4}$[-7(a-$\frac{3}{7}$)2+$\frac{16}{7}$]≤$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{7}$=$\frac{4}{7}$,
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{3}{7}$,b=c=$\frac{2}{7}$,取得最大值$\frac{4}{7}$.
故答案為:$\frac{1}{3}$,$\frac{4}{7}$.

點評 本題考查最值的求法,注意運用轉(zhuǎn)化思想和基本不等式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)$f(x)=cosωx(\sqrt{3}sinωx-cosωx)$(ω>0)的兩條對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$.
(Ⅰ)求ω的值以及f(x)的最大值;
(Ⅱ)已知△ABC中,cosA<0,若f(A)≥m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足acosB+bcosA=2ccosC.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若△ABC的面積為2$\sqrt{3}$,求c的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.經(jīng)過A(-3,1),且平行于y軸的直線方程為x=-3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+m(m∈R),將y=f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖象,且y=g(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{4}$]內(nèi)的最大值為$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若g($\frac{3}{4}$B)=l,且a+c=2,求△ABC的周長l的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于(  )
A.B.C.16πD.25π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=1-i,則$\frac{z_1}{z_2}$=( 。
A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.-iD.i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對邊長,若$A=\frac{π}{3},b=2acosB,c=1$,則S△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.已知lga和lgb分別是x2+x-3=0的兩個根,則ab=$\frac{1}{10}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案