4.已知a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng),若$A=\frac{π}{3},b=2acosB,c=1$,則S△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$.

分析 利用正弦定理把已知等式化邊為角,求出B,可得三角形為等邊三角形,則面積可求.

解答 解:△ABC中,∵b=2acosB,
∴根據(jù)正弦定理,得sinB=2sinAcosB,
又∵A=$\frac{π}{3}$,
∴sinB=2sin$\frac{π}{3}$cosB,
即sinB=$\sqrt{3}$cosB,可得tanB=$\sqrt{3}$.
∵B∈(0,π),∴B=$\frac{π}{3}$;
∵A=$\frac{π}{3}$,B=$\frac{π}{3}$,
∴C=π-(A+B)=$\frac{π}{3}$.
則a=b=c=1,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{3}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題已知三角形的邊和角的關(guān)系式,求三角形的面積,著重考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與三角形的面積求法等知識(shí),屬于中檔題.

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