Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，a₁=1，且a_n=-S_n-1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{6}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，再由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用等比數(shù)列的通項公式，求得a_n，再由對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡b_n，再由裂項相消求和，即可得到所求．

解答 解：（1）證明：a₁=1，且a_n=-S_n-1（n∈N^*）．①
a_n-1=-S_n-1-1（n≥2）．②
①-②可得，a_n-a_n-1=-（S_n-S_n-1）=-a_n，
即為2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
則數(shù)列{a_n}是首項為1，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
b_n=$\frac{6}{lo{g}_{2}{a}_{n+1}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{6}{lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n}}•lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{n+1}}}$
=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則前n項和T_n=6（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=6（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{6n}{n+1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．