Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=-x²-3，且f（x）+g（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a+c的值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)f（x）的最小值為1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3，由奇函數(shù)可得a-1=0，c-3=0，從而求解；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論對(duì)稱軸所在的位置，從而確定f（x）的最小值在何時(shí)取得，從而求f（x）的解析式

解答 解：（Ⅰ）h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵h(yuǎn)（x）為奇函數(shù)，
∴a-1=0，c-3=0，
∴a=1，c=3，
∴a+c=4．
（Ⅱ）f（x）=x²+bx+3，其圖象對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}$，
當(dāng)-$\frac{2}$≤-1，即b≥2時(shí)，
f（x）_min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；
當(dāng)-2＜$\frac{2}$≤2，即-4≤b＜2時(shí)，f（x）_min=f（-$\frac{2}$）=$\frac{^{2}}{4}-\frac{^{2}}{2}+3$=1，
解得b=-2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$（舍）；
當(dāng)-$\frac{2}$＞2，即b＜-4時(shí)，
f（x）_min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），
∴f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2$\sqrt{2}$x+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用與及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．