Question

已知n∈N^*，n＞2，（2

x

-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n；    
（Ⅱ）求展開(kāi)式中x 

1

2

的系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）求出展開(kāi)式的前2，3，4項(xiàng)的系數(shù)，利用等差數(shù)列得到n的關(guān)系式，求解即可；    
（Ⅱ）通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的冪指數(shù)是

1

2

，求出項(xiàng)數(shù)，即可x 

1

2

的系數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）展開(kāi)式中第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

．
由題意可知：2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

即 2•

n(n-1)

2

=n+

n(n-1)(n-2)

6

…（4分）
化簡(jiǎn)得n²-9n+14=0…（5分）
又n＞2，則n=7．…（6分）
（Ⅱ）展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+1=

C

r 7

(2

x

)7-r(-

1

x

)r=(-1)r27-r

C

r 7

x

7

2

-r…（9分）
根據(jù)題意，得 

7

2

-r=

1

2

即r=3…（10分）
所以x

1

2

的系數(shù)為：(-1)327-3

C

3 7

=-560．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，特定項(xiàng)系數(shù)的求法，考查計(jì)算能力．