Question

10．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AC⊥BC，D、E分別為AB、AC中點．
（1）求證：DE∥面BCC₁B₁；
（2）若CB=1，$AC=\sqrt{3}$，$A{A_{\;\;1}}=\sqrt{3}$．求異面直線A₁E和CD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得DE∥BC，由此能證明DE∥面BCC₁B₁．
（2）取AD的中點F，連EF，A₁F，則EF∥CD，∠A₁EF為異面直線A₁E和CD所成角（或其補角），由此能求出∠A₁EF為異面直線A₁E和CD所成角．

解答 （1）證明：∵D、E分別為AB、AC中點，
∴DE∥BC，…（1分）
∵BC⊆面BCC₁B₁…（3分）DE?面BCC₁B₁…（5分）
∴DE∥面BCC₁B₁…（6分）
（2）解：取AD的中點F，連EF，A₁F，
∵EF∥CD，∴∠A₁EF為異面直線A₁E和CD所成角（或其補角）…（8分）
在△A₁EF中，${A_1}E=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，$EF=\frac{1}{2}$，${A_1}F=\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，
∴$cos∠{A_1}EF=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$…（10分）
∴∠A₁EF為異面直線A₁E和CD所成角為$arccos\frac{{\sqrt{15}}}{10}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．