Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，令a_n=lgx_n．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（2）求a₁+a₂+…+a₉₉的值．

Answer 1

分析：（1）取n=1求得函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到f′（1）=2．然后直接帶入直線方程點(diǎn)斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式，取y=0求得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入a_n=lgx_n，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求a₁+a₂+…+a₉₉的值．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=x²．
∴f′（x）=2x，f′（1）=2．
∴曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）∵y=f（x）=xⁿ⁺¹，∴f′（x）=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1．
故切線方程為y-1=（n+1）（x-1）．
令y=0，得x=

n

n+1

．
∴切線與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

n

n+1

．
∴a₁+a₂+…+a₉₉=lgx₁+lgx₂+lgx₃+…+lgx₉₉
=lg（x₁•x₂•x₃…x₉₉）=lg(

1

2

•

2

3

•

3

4

…

99

100

)
=lg10^-2=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，考查了數(shù)列的求和，訓(xùn)練了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．