Question

已知sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos20°）x+cos²20°-

1

2

=0的兩根，其中α、β都是銳角，且α＞β，求α、β的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①，②，把①兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將②代入得到sin²α+sin²β=1，根據(jù)題意確定出α與β的度數(shù)即可．

解答： 解：∵sinα、sinβ是方程x²-（

2

cos20°）x+cos²20°-

1

2

=0的兩根，
∴sinα+sinβ=

2

cos20°①，sinαsinβ=cos²20°-

1

2

②，
把①兩邊平方得：（sinα+sinβ）²=sin²α+sin²β+2sinαsinβ=2cos²20°，
將②代入得：sin²α+sin²β+2cos²20°-1=2cos²20°，即sin²α+sin²β=1，
∵α、β都是銳角，且α＞β，
∴α+β=90°，α＞β都可以成立，例如α=75°，β=15°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，以及韋達(dá)定理，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．