19.若等邊△ABC的邊長為6,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$,則四邊形ABCM的面積為$\frac{27\sqrt{3}}{2}$,$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=34.

分析 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算即可得出.

解答 解:如圖所示,A(3,0),B(0,$3\sqrt{3}$),C(-3,0).
∴$\overrightarrow{BC}$=(-3,-$3\sqrt{3}$),$\overrightarrow{CA}$=(6,0).
∴$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{3}$(6,0)+$\frac{1}{2}$(-3,-$3\sqrt{3}$)
=($\frac{1}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CM}$
=(-3,0)+($\frac{1}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)
=($-\frac{5}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}$
=(3,0)-($-\frac{5}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)
=($\frac{11}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$),
同理$\overrightarrow{MB}$=($\frac{5}{2}$,$\frac{9\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=($\frac{11}{2}$,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$)•($\frac{5}{2}$,$\frac{9\sqrt{3}}{2}$)
=$\frac{11}{2}×\frac{5}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{9\sqrt{3}}{2}$
=34,
所以S四邊形ABCM=S△ABC+S△ACM
=$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×6×\frac{3\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{27\sqrt{3}}{2}$,
故答案為:$\frac{27\sqrt{3}}{2}$,34.

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、等邊三角形的性質(zhì),屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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A.4B.3C.2D.無法確定

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A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{2}{3}$

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其中真命題的個(gè)數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

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