Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³的圖象為曲線C，給出以下四個命題：
①若點M在曲線C上，過點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條；
②對于曲線C上任意一點P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項是同一個常數(shù)；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|，則g（x）的最小值是0；
④若f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，則a的最大值是1．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 對四個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若點M在曲線C上，過點M的切線斜率只有一個，所以過點M作曲線C的切線可作一條且只能作一條，故正確；
②函數(shù)f（x）=x³是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以對于曲線C上任意一點P（x₁，y₁）（x₁≠0），在曲線C上總可以找到一點Q（x₂，y₂），使x₁和x₂的等差中項是同一個常數(shù)0，故正確；
③設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）-2sin2x|=|x³-2sin2x|是偶函數(shù)，且g（0）=0，則g（x）的最小值是0；
④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）³≤8a³，∴x+a≤2a，∴x≤a
∵f（x+a）≤8f（x）在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴a≥2，∴a的最小值是2，故不正確．
故選：C．

點評 本題考查曲線與方程，考查命題真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．